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二阶常系数非齐次线性微分方程特解怎么设?

较常用的几个:1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 拓展资料:其他解法 ①通解=非齐次方程特解+齐次方程通解 对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+

解其对应的齐次常系数线性微分方程时,其解必定含有一个任意常数C,把常数C看作是个变量,并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解.将其代入非齐次常系数线性微分方程,再次确定C(x)..这种方法就叫常数变易法.

对付线性微分方程最简单的办法,也是最通用的办法是使用拉普拉斯变换,化为代数方程求解,然后反变换回去.这个过程不需要特解就可以得到.而如果采用一般的方法,特解往往最烦,一般来说你可以根据以往的解题经验,使用待定

例如:y''+2y'+y=e^x (1) //: 这是二阶常系数非齐次线性微分方程;它的特解就是找到一个函数y=f(x),代入(1)之后,(1)式成立,则f(x)就是(1)的特解;本例中,取 y=f(x)=e^x/4,将其代入(1),得到: (e^x+2e^x+e^x)/4=e^x 4e^x/4=e^x 即:y=f(x)=e^x/4 为二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的一个特解.

这三道题目有统一的做法,均是令y=e^{kx},其中k为参数,视具体题目定. 1、y'' y'-2y=0 将y=e^{kx}代入可得:k^2 k-2=0 解得:k=1或者k=-2,从而得通解为:y=ae^{x} be^{-2x} 2、y'' 6y' 13y=0 将y=e^{kx}代入可得:k^2 6k 13=0 解得:k=2i或者k=-2i,从而得通解为:y=ae^{2ix} be^{-2ix}=ccos(2x) dsin(2x) 3、y'''' 2y'' y=0 将y=e^{kx}代入可得:k^4 2k^2 1=0 解得:k=√2i或者k=-√2i或者k=0,从而得通解为:y=acos(√2x) bsin(√2x) cx d

简单地说吧:1)如果右边为多项式,则特解就设为次数一样的多项式;2)如果右边为多项项乘以e^(ax)的形式,那就要看这个a是不是特征根:如果a不是特征根,那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax); 如果a是一阶特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x;如果a是n重特征根,那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n.

第一题,多项式右边,可以猜一个同次的多项式解;第二题,(D+1)(D+2)y=xe^(-x),此时发生共振,从而猜测特解(Ax+Bx^2)e^(-x); 第三题,(D-1)(D-1)y=x^2e^x,发生二次共振(左边的微分算子重复两次),从而猜测特解为(Ax^2+Bx^3+Cx^4)e^x; 第四题,(D+2)(D+3)y=2e^(2x),发生共振,猜测y=Axe^(2x).

这种题分为两种类型:1.不带有三角函数的.2.带有三角函数的.

由于(3x+1)可认为是(3x+1乘e的0次方),0不是特征方程的根,所以根据二阶常系数非齐次线性方程的解的结构特点,也为了将特解代入时能将变量消去使左右等价,应设成与(3x+1)等次的任意多项式,所以应是一次多项式y=b1x+b2

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